Յուրա Մովսիսյանը ծնվել է 1987 թվականի օգոստոսի 2-ին Բաքվում, Ադրբեջանական ՍՍՀ-ում Սերգեյ Մովսիսյանի և Աիդա Սահակյան ընտանիքում։ Յուրան չունի հիշողություններ իր տան մասին։ Նա հիշում է, որ իր ընտանիքը Բաքվում մնացել է մինչև «1991 թ.-ի վերջը կամ 1992 թ.-ի սկիզբը», այն պատճառով, թե ինչպես էին «մարդիկ սպանում ... ամեն բան»։

Նրա ընտանիքը տեղափոխվել է Միացյալ Նահանգներ և բնակություն հաստատել Լոս Անջելեսի տարածքում, որտեղ կա մեծ հայկական համայնք։ Մովսիսյանը հաճախել է և ֆուտբոլ է խաղացել Փասադենա քաղաքի ավագ դպրոցում։ Այնտեղ խաղացել է մեկ տարի, որից հետո ՄԼՍ֊ում «հայտնաբերել են» նրան և 2006 թվականին Յուրան տեղափոխվել է ՄԼՍ Սուպերդռավթ։

2001-2002 թվանանին սկսել է ֆուտբոլ խաղալ Պասադենա ֆուտբոլային քոլեջում, որտեղ սովորեց 1 տարի։ Առաջին պրոֆեսիոնալ պայմանագիրը կնքել է 2006 թվականին Կանզաս Սիթի ակումբի հետ, որի կազմում անցկացրել է 28 խաղ և խփել 5 գնդակ։ 2007 թվականին Յուրան պայմանագիր է կնքում Ռեալ Սոլտ-Լեյկ ակումբի հետ, որի կազմում անցկացնում է 2 սեզոն և 53 խաղում խփում 15 գնդակ։ Այդ ընթացքում Յուրա Մովսիսյանը նաև դառնում է MLS-ի չեմպիոն։ Տաղանդավոր խաղացողի նկատմամբ սկսում է հետաքրքրություն ցուցաբերել Դանիայի բարձրագույն դիվիզիոնը ներկայացնող Ռանդերս ակումբը, որտեղ հանդես էր գալիս Հայաստանի հավաքականի անդամ Ռոբերտ Արզումանյանը։^[2] Մրցաշարային աղյուսակում վտանգավոր գոտում «ամրապնդված» ակումբը 2009 թվականին պայմանագիր է ստորագրում Յուրա Մովսիսյանի հետ, որի խփած 7 գոլերը առաջնության մնացած 13 խաղում օգնեցին Ռանդերսին պահպանել տեղըԴանիայի բարձրագույն առաջնությունում։

2010 թվականի օգոստոսի 11-ին Մովսիսյանը իր առաջին հանդիպումը անցկացրեց Հայաստանի ֆուտբոլի ազգային հավաքականի կազմում։ Հրազդանի մարզադաշտումկայացած Հայաստան-Իրան հանդիպումը ավարտվեց Իրանի ֆուտբոլիստների հաղթանակով ՝ 3-1 հաշվով, իսկ Յուրան խազադաշտում անցկացրեց ընդամենը 15 րոպե, ինչը պայմանավորված էր թեթև վնասվածքով։^[3] 2010 թ.-ի սեպտեմբերի 3-ին Յուրա Մովսիսյանը իր առաջին գնդակն է խփում Հայաստանի հավաքականի կազմում ՝ բացելով հաշիվը Մակեդոնիայի հետ արտագնա խաղում, որն ավարտվեց ոչ-ոքի ՝ 2-2։

Մովսիսյանը մեկական գոլի հեղինակ դարձավ նաև Սլովակիաի և Անդորրայի հավաքականների հետ խաղում ՝ օգնելով Հայաստանի ֆուտբոլի ազգային հավաքականին հաղթանակ տոնել այդ խաղերում։

Հայաստանի հավաքականում անցկացրած 4 պաշտոնական խաղերում հեղինակած 3 գնդակներից հետո Յուրա Մովսիսյանով սկսում են հետաքրքրվել մի շարք եվրոպական թիմեր, որոնց շարքում էին իսպանական Էսպանյոլը, Կիևի Դինամոն, մոսկովյան Լոկոմոտիվը և Կազանի Ռուբինը։ Սակայն ձմեռային տրանսֆերային պատուհանի փակվելուց մի քանի օր առաջ հայտնի է դառնում որ Մովսիսյանը պայմանագիր է կնքել Ռուսաստանի Պրեմիեր լիգայի նորեկ Կրասնոդար ՖԱ թիմի հետ։